НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная
Научно-техническая библиотека универсальная
ntbu.ru: НТБУ
Начало сайта / Теория относительности
Начало сайта / Теория относительности

Теория относительности

Человек и общество

Литературное творчество ученых

Образование

Изменённые преобразования Лоренца

Длина твёрдых тел не сокращается, одновременность событий не нарушается

Николай Галибин

Данная публикация может быть интересной для тех, кто когда-либо пытался осмыслить парадоксы специальной теории относительности. Столь краткое изложение нового представления кинематических преобразований в специальной теории относительности вызвано желанием автора сосредоточится на главных результатах, которые следуют из разрешения противоречий между динамикой и кинематикой быстро движущихся протяжённых объектов. Доказательство несостоятельности мнения о сокращении размеров твёрдых тел при их относительном движении дано в виде краткого сообщения, где рассмотрено совместное решение кинематической и динамической задачи перемещения системы частиц.

Автором получены преобразования координат и времени для частиц высоких энергий и протяжённых объектов в инерциальных системах отсчёта с учётом начальных условий движения. Показано что события, одновременные в разных точках одной инерциальной системы отсчёта, будут также одновременными в других инерциальных системах отсчёта, а линейные размеры протяжённых объектов, молекулярных структур и орбитальных образований космоса, в инерциальных системах отсчёта остаются неизменными.

Введение

Одной из предпосылок данного исследования стало рассмотрение парадоксального эффекта, где вступают в противоречие динамика и кинематика протяжённых объектов. Рассмотрим движение объекта в случае, когда изначально он покоится в инерциальной системе отсчёта, а затем ускоряется до некоторой постоянной скорости.

Допустим, объект представляет собой систему двух частиц одинаковой массы m, расположенных вдоль оси x, причём частица 1 имеет координату x = 0, а частица 2 – координату x = L. Начиная с момента t = 0, к частицам прикладываются равные и постоянные во времени силы F1 = F2, действующие в положительном направлении координаты x. Действие сил прекращается после достижения частицами в системе координаты x скорости v1 = v2 = V; дальнейшее движение совершается по инерции.

Соотношение между интервалами времени, которые отсчитывают неподвижные часы в системе координаты x и часы, движущиеся вместе с частицами, определяется из уравнения:

\(dt' = \sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} dt,\)(1)

где t′ – собственное время частицы, c – скорость света.

Интегрируя это выражение, можно найти время на движущихся вместе с частицами часах T ′, когда часы наблюдателя показывают время T. Поскольку движение частиц начинается одновременно в момент t = t′ = 0 и в этот момент их скорость в координате x равна нулю, то нижние пределы интегрирования уравнения (1) будут равны нулю для первой и второй частицы:

\(\int_0^{T'} {dt'} = \int_0^T {\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} } dt.\)(2)

Скорость частиц v в каждый момент t определяется из уравнения:

\(\frac{m}{{{{\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)}^{3/2}}}}\frac{{dv}}{{dt}} = F.\)(3)

Получена система уравнений для каждой из двух частиц, где пределы интегрирования по времени, соответствующие моментам достижения частицами определённой скорости, не зависят от исходного расстояния между частицами.

Из решения уравнений (2...3) при начальных условиях движения t = 0, v1 = v2 = 0, время достижения двумя частицами скорости v = V, измеренное по неподвижным в системе координаты x часам, равно

\({T_1} = {T_2} = \frac{m}{F}\frac{V}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\)

Этому событию соответствует собственное время первой и второй частицы:

\[{T'_1} = {T'_2} = \frac{{mc}}{F}\ln \frac{{1 + V/c}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\]

Формула (1) подтверждена экспериментом [1, 2], следовательно, два события, одновременные в разных точках одной системы отсчёта, будут также одновременными в любой другой инерциальной системе отсчёта.

Противоречие с релятивистской кинематикой состоит здесь в том что, согласно преобразованиям Лоренца, собственное время первой и второй частицы T1′ и T2′, при достижении ими постоянной скорости V в момент T1 = T2, должно отличатся на величину

\[{T'_1} - {T'_2} = \frac{{VL/{c^2}}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\]

Иная формулировка изложенного противоречия, с позиции закона сохранения энергии, дана в работе [3]. Суть эффекта в том, что если к концам стержня приложены в течение короткого времени силы, которые уравновешивают друг друга и не совершают над телом работы, то при рассмотрении в системе координат, движущейся по отношению к стержню, эти силы совершают над телом определённую работу, то есть нарушается закон сохранения энергии. Автор [3] делает заключение: «Итак, если даже релятивистская электродинамика верна, мы ещё очень далеки от создания динамики поступательного перемещения твёрдого тела».

В нашем рассмотрении аналогом твёрдого тела является система частиц.

Кинематические преобразования

Разрешение указанных противоречий при рассмотрении одномерного движения частиц вдоль координаты x возможно при следующих условиях:

Расстояние между двумя материальными частицами, неподвижными в одной из инерциальных систем, является инвариантным для всех инерциальных систем отсчёта.

Тогда для каждой из частиц выполняется соотношение:

xvt = x′ – vt′ = L,(4)

где x и x′ – инерциальные системы отсчёта,
v = dx /dt = const1 и v′ = dx′/dt′ = const2 – скорость частицы в инерциальных системах отсчёта,
L – координата частицы в той системе отсчёта, где частица покоится.

События, происходящие одновременно в разных точках пространства, будут наблюдаться одновременными во всех других инерциальных системах отсчёта. Формулировка этого положения выражается обобщённой записью экспериментально подтверждённой формулы (1):

(ct)2 – (vt)2 = (ct′)2 – (vt′)2.(5)

Постоянство скорости света в системах отсчёта выражается законом сложения скоростей:

\(v = \frac{{v' + V}}{{1 + v'V/{c^2}}},\)(6)

где V = dx /dt = – dx′/dt′ = const3 – скорость одной инерциальной системы отсчёта по отношению к другой.

Из решения системы уравнений (4...6) следует преобразование координат и времени:

\(x = x' + \frac{{{c^2}}}{V}\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right)\left( {t + t'} \right)\).(7)

В предельном случае, когда c >>V, \(\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} \approx 1 - {V^2}/2{c^2}\), t′ ≈ t, получим x ≈ x′ + Vt.

Соотношение между временем t и t′ зависит только от скорости частицы в системах отсчёта и определяется по уравнениям (5) и (6):

\[t = \frac{{t'(1 + v'{V^2}/{c^2})}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t' = \frac{{t(1 - v{V^2}/{c^2})}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\](8)

\(x = x' + \left( {\frac{{v' + V}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }} - v'} \right)t',\quad x' = x + \left( {\frac{{v - V}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }} - v} \right)t.\)

Например, если v′ = 0, то есть объект наблюдения неподвижен в системе отсчёта x′, а наблюдатель неподвижен в системе x, тогда

\(t = \frac{{t'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x = x' + \frac{{Vt'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x' = L.\)

Обратные преобразования следуют из условия v = 0:

\(t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x' = x - \frac{{Vt}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x = L.\)

Для фотона, при v = v′ =c

\(x = x' + \left( {\frac{{1 + V/c}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }} - 1} \right)ct',\quad t = \frac{{(1 + V/c)t'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\)

\(x' = x + \left( {\frac{{1 - V/c}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }} - 1} \right)ct,\quad t' = \frac{{(1 - V/c)t}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\)

Решение системы уравнений (4...6), включающее параметр L, имеет вид:

\(x = x' + \frac{{\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right)(x' - L) + Vt'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t = \frac{{t' + (x' - L)V/{c^2}}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\)(9)

Обратные преобразования симметричны по отношению к перемене знака скорости V:

\(x' = x + \frac{{\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right)(x - L) - Vt}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t' = \frac{{t - (x - L)V/{c^2}}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\)

При L = 0 уравнения (9) представляют собой преобразования Лоренца, которые описывают перемещение точечного объекта при исходных условиях: t = t′ = 0, x = x′ = 0.

Преобразования (7...9) подтверждают, что длина стержня, измеренная в разных инерциальных системах отсчёта, неизменна. Показания времени на концах стержня 1 и 2 в системах отсчёта определяются по уравнениям (8): если t1 = t2, то t1 = t2.

Подставляя соответствующие значения времени в уравнение (9) и проведя вычитание с учётом формулы (4), получим неизменную длину стержня L0 в различных системах отсчёта: L0 = x2 – x1 = x2 – x1. Таким образом, решается парадокс вращающегося диска [4].

Длина материального тела или расстояние между двумя материальными телами L0 = L2 – L1 определяется в преобразованиях (7...9) как произведение эталона длины на определённое число. В качестве эталона принимается, например, радиус орбиты тела в гравитационном поле или размер какой либо молекулярной структуры при заданной температуре, то есть размер замкнутого в себе стационарного образования с определённым балансом кинетической и потенциальной энергии. В преобразованиях Лоренца длина тела определена как разница путей, проходимых концами этого тела в двух инерциальных системах отсчёта.

Заключение

При согласованном решении кинематической и динамической задачи поступательного движения ансамбля частиц, а так же твёрдых тел, преобразования (7...9) являются единственно возможными. В трёхмерном измерении кинематические преобразования координат и времени имеют вид [5]:

\(\frac{{x - x'}}{{t + t'}} = \frac{{{c^2}}}{V}\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right),\quad y = y',\quad z = z',\)(10)
\[\left( {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 - {c^2}} \right){t^2} = \left( {v_{y'}'^2 + v_{y'}'^2 + v_{z'}'^2 - {c^2}} \right){t'^2} = inv,\]
(континуум скорости-времени)
(11)
\[{v_x} = \frac{{{{v'}_{x'}} + V}}{{1 + {{v'}_{x'}}{V^2}/{c^2}}},\quad {v_y} = \frac{{{{v'}_{y'}}\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}{{1 + {{v'}_{x'}}{V^2}/{c^2}}},\quad {v_z} = \frac{{{{v'}_{z'}}\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}{{1 + {{v'}_{x'}}{V^2}/{c^2}}},\](12)

\({v_x} = dx/dt,\quad {v_y} = dy/dt,\quad {v_z} = dz/dt,\)

\({v'_{x'}} = dx'/dt',\quad {v'_{y'}} = dy'/dt',\quad {v'_{z'}} = dz'/dt'.\)

Уравнения (10...12) могут быть записаны в другой форме:

\(\frac{{x - x'}}{{t + t'}} = \frac{{{c^2}}}{V}\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right),\quad y = y',\quad z = z',\)(13)
\(t = \frac{{t'\left( {1 + Vdx'/{c^2}dt'} \right)}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t' = \frac{{t\left( {1 - Vdx/{c^2}dt} \right)}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\)(14)

Системы уравнений (10...12) и (13, 14) заменяют собой преобразования Лоренца:

\(x = \frac{{x' + Vt'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x' = \frac{{x - Vt}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad y = y',\quad z = z',\)

\(t = \frac{{t' + \left( {{V^2}/{c^2}} \right)x'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t' = \frac{{t - \left( {{V^2}/{c^2}} \right)x}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\)

Преобразования (10...14) не противоречат релятивистской динамике и электродинамике, а также релятивистским эффектам, в основе которых заложен закон сложения скоростей (6).

Особенность преобразований в том, что они повышают симметрию пространства. Молекулярные структуры и орбитальные образования не деформируются и не меняют свои размеры в инерциальных системах отсчёта. Одновременные события, происходящие в разных точках какой либо инерциальной системы отсчёта, будут одновременными во всех других инерциальных системах.

 

Список литературы

  1. Mandelberg H.I., Witten L. Experimental Verification of the Relativistic Doppler Effect. Journal of the Optical Society of America, 1962. – V. 52, p. 529...535.
  2. Frish D.H., Smith J.H. Measurement of the Relativistic Time Dilation Using μ-Mesons. American Journal of Physics, 1963. – V. 31, p. 342.
  3. Einstein. A. Ьber die vom Relativitдtsprinzip geforderte Trдgheit der Energie. Annalen der Physik, 1907. – V. 23, p. 371...384.
  4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. II. Теория поля. М.: Наука, 1973. – с. 65.
  5. Галибин Н.С. Кинематические преобразования для частиц высоких энергий. Депонировано в ВИНИТИ 05.08.2013, №232-В2013. – 6 с.
  6. Галибин Н.С. Преобразования координат и времени при относительном движении. «Издательство Самарского Научного Центра РАН», 2015. – 8 с.

Дата публикации:

3 апреля 2017 года

Электронная версия:

© НТБУ. Теория относительности, 2007