НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная
Научно-техническая библиотека универсальная
ntbu.ru: НТБУ
Начало сайта / Теория относительности
Начало сайта / Теория относительности

Теория относительности

Человек и общество

Литературное творчество ученых

Образование

Изменённые преобразования Лоренца

Длина твёрдых тел не сокращается, одновременность событий не нарушается

Николай Галибин

Данная публикация может быть интересной для тех, кто когда-либо пытался осмыслить парадоксы специальной теории относительности. Столь краткое изложение нового представления кинематических преобразований в специальной теории относительности вызвано желанием автора сосредоточится на главных результатах, которые следуют из разрешения противоречий между динамикой и кинематикой быстро движущихся протяжённых объектов. Доказательство несостоятельности мнения о сокращении размеров твёрдых тел при их относительном движении дано в виде краткого сообщения, где рассмотрено совместное решение кинематической и динамической задачи перемещения системы частиц.

Автором получены преобразования координат и времени для частиц высоких энергий и протяжённых объектов в инерциальных системах отсчёта с учётом начальных условий движения. Показано что события, одновременные в разных точках одной инерциальной системы отсчёта, будут также одновременными в других инерциальных системах отсчёта, а линейные размеры протяжённых объектов, молекулярных структур и орбитальных образований космоса, в инерциальных системах отсчёта остаются неизменными.

Введение

Одной из предпосылок данного исследования стало рассмотрение парадоксального эффекта, где вступают в противоречие динамика и кинематика протяжённых объектов. Рассмотрим движение объекта в случае, когда изначально он покоится в инерциальной системе отсчёта, а затем ускоряется до некоторой постоянной скорости.

Допустим, объект представляет собой систему двух частиц одинаковой массы m, расположенных вдоль оси x, причём частица 1 имеет координату x = 0, а частица 2 – координату x = L. Начиная с момента t = 0, к частицам прикладываются равные и постоянные во времени силы F1 = F2, действующие в положительном направлении координаты x. Действие сил прекращается после достижения частицами в системе координаты x скорости v1 = v2 = V; дальнейшее движение совершается по инерции.

Соотношение между интервалами времени, которые отсчитывают неподвижные часы в системе координаты x и часы, движущиеся вместе с частицами, определяется из уравнения:

\[dt' = \sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} dt,\](1)

где t′ – собственное время частицы, c – скорость света.

Интегрируя это выражение, можно найти время на движущихся вместе с частицами часах T ′, когда часы наблюдателя показывают время T. Поскольку движение частиц начинается одновременно в момент t = t′ = 0 и в этот момент их скорость в координате x равна нулю, то нижние пределы интегрирования уравнения (1) будут равны нулю для первой и второй частицы:

\[\int_0^{T'} {dt'} = \int_0^T {\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} } dt.\](2)

Скорость частиц v в каждый момент t определяется из уравнения:

\[\frac{m}{{{{\left( {1 - {v^2}/{c^2}} \right)}^{3/2}}}}\frac{{dv}}{{dt}} = F.\](3)

Получена система уравнений для каждой из двух частиц, где пределы интегрирования по времени, соответствующие моментам достижения частицами определённой скорости, не зависят от исходного расстояния между частицами.

Из решения уравнений (2...3) при начальных условиях движения t = 0, v1 = v2 = 0, время достижения двумя частицами скорости v = V, измеренное по неподвижным в системе координаты x часам, равно

\[{T_1} = {T_2} = \frac{m}{F}\frac{V}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\]

Этому событию соответствует собственное время первой и второй частицы:

\[{T'_1} = {T'_2} = \frac{{mc}}{F}\ln \frac{{1 + V/c}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\]

Формула (1) подтверждена экспериментом [1, 2], следовательно, два события, одновременные в разных точках одной системы отсчёта, будут также одновременными в любой другой инерциальной системе отсчёта.

Противоречие с релятивистской кинематикой состоит здесь в том что, согласно преобразованиям Лоренца, собственное время первой и второй частицы T1′ и T2′, при достижении ими постоянной скорости V в момент T1 = T2, должно отличатся на величину

\[{T'_1} - {T'_2} = \frac{{VL/{c^2}}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\]

Иная формулировка изложенного противоречия, с позиции закона сохранения энергии, дана в работе [3]. Суть эффекта в том, что если к концам стержня приложены в течение короткого времени силы, которые уравновешивают друг друга и не совершают над телом работы, то при рассмотрении в системе координат, движущейся по отношению к стержню, эти силы совершают над телом определённую работу, то есть нарушается закон сохранения энергии. Автор [3] делает заключение: «Итак, если даже релятивистская электродинамика верна, мы ещё очень далеки от создания динамики поступательного перемещения твёрдого тела».

В нашем рассмотрении аналогом твёрдого тела является система частиц.

Кинематические преобразования

Разрешение указанных противоречий при рассмотрении одномерного движения частиц вдоль координаты x возможно при следующих условиях:

Расстояние между двумя материальными частицами, неподвижными в одной из инерциальных систем, является инвариантным для всех инерциальных систем отсчёта.

Тогда для каждой из частиц выполняется соотношение:

xvt = x′ – vt′ = L,(4)

где x и x′ – инерциальные системы отсчёта,
v = dx /dt = const1 и v′ = dx′/dt′ = const2 – скорость частицы в инерциальных системах отсчёта,
L – координата частицы в той системе отсчёта, где частица покоится.

События, происходящие одновременно в разных точках пространства, будут наблюдаться одновременными во всех других инерциальных системах отсчёта. Формулировка этого положения выражается обобщённой записью экспериментально подтверждённой формулы (1):

(ct)2 – (vt)2 = (ct′)2 – (vt′)2.(5)

Постоянство скорости света в системах отсчёта выражается законом сложения скоростей:

\[v = \frac{{v' + V}}{{1 + v'V/{c^2}}},\](6)

где V = dx /dt = – dx′/dt′ = const3 – скорость одной инерциальной системы отсчёта по отношению к другой.

Из решения системы уравнений (4...6) следует преобразование координат и времени:

\[x = x' + \frac{{{c^2}}}{V}\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right)\left( {t + t'} \right)\].(7)

В предельном случае, когда c >>V, \(\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} \approx 1 - {V^2}/2{c^2}\), t′ ≈ t, получим x ≈ x′ + Vt.

Соотношение между временем t и t′ зависит только от скорости частицы в системах отсчёта и определяется по уравнениям (5) и (6):

\[t = \frac{{t'(1 + v'{V^2}/{c^2})}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t' = \frac{{t(1 - v{V^2}/{c^2})}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\](8)

\[x = x' + \left( {\frac{{v' + V}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }} - v'} \right)t',\quad x' = x + \left( {\frac{{v - V}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }} - v} \right)t.\]

Например, если v′ = 0, то есть объект наблюдения неподвижен в системе отсчёта x′, а наблюдатель неподвижен в системе x, тогда

\[t = \frac{{t'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x = x' + \frac{{Vt'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x' = L.\]

Обратные преобразования следуют из условия v = 0:

\[t' = \frac{t}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x' = x - \frac{{Vt}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x = L.\]

Для фотона, при v = v′ =c

\[x = x' + \left( {\frac{{1 + V/c}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }} - 1} \right)ct',\quad t = \frac{{(1 + V/c)t'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\]

\[x' = x + \left( {\frac{{1 - V/c}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }} - 1} \right)ct,\quad t' = \frac{{(1 - V/c)t}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\]

Решение системы уравнений (4...6), включающее параметр L, имеет вид:

\[x = x' + \frac{{\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right)(x' - L) + Vt'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\\\quad t = \frac{{t' + (x' - L)V/{c^2}}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\](9)

Обратные преобразования симметричны по отношению к перемене знака скорости V:

\[x' = x + \frac{{\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right)(x - L) - Vt}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t' = \frac{{t - (x - L)V/{c^2}}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\]

При L = 0 уравнения (9) представляют собой преобразования Лоренца, которые описывают перемещение точечного объекта при исходных условиях: t = t′ = 0, x = x′ = 0.

Преобразования (7...9) подтверждают, что длина стержня, измеренная в разных инерциальных системах отсчёта, неизменна. Показания времени на концах стержня 1 и 2 в системах отсчёта определяются по уравнениям (8): если t1 = t2, то t1 = t2.

Подставляя соответствующие значения времени в уравнение (9) и проведя вычитание с учётом формулы (4), получим неизменную длину стержня L0 в различных системах отсчёта: L0 = x2 – x1 = x2 – x1. Таким образом, решается парадокс вращающегося диска [4].

Длина материального тела или расстояние между двумя материальными телами L0 = L2 – L1 определяется в преобразованиях (7...9) как произведение эталона длины на определённое число. В качестве эталона принимается, например, радиус орбиты тела в гравитационном поле или размер какой либо молекулярной структуры при заданной температуре, то есть размер замкнутого в себе стационарного образования с определённым балансом кинетической и потенциальной энергии. В преобразованиях Лоренца длина тела определена как разница путей, проходимых концами этого тела в двух инерциальных системах отсчёта.

При согласованном решении кинематической и динамической задачи поступательного движения ансамбля частиц, а так же твёрдых тел, преобразования (7...9) являются единственно возможными. В трёхмерном измерении кинематические преобразования координат и времени имеют вид [5]:

\(\frac{{x - x'}}{{t + t'}} = \frac{{{c^2}}}{V}\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right),\quad y = y',\quad z = z',\)(10)
\[\left( {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 - {c^2}} \right){t^2} = \left( {v_{y'}'^2 + v_{y'}'^2 + v_{z'}'^2 - {c^2}} \right){t'^2} = inv,\]
(континуум скорости-времени)
(11)
\[{v_x} = \frac{{{{v'}_{x'}} + V}}{{1 + {{v'}_{x'}}{V^2}/{c^2}}},\quad {v_y} = \frac{{{{v'}_{y'}}\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}{{1 + {{v'}_{x'}}{V^2}/{c^2}}},\quad {v_z} = \frac{{{{v'}_{z'}}\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}{{1 + {{v'}_{x'}}{V^2}/{c^2}}},\](12)

\[{v_x} = dx/dt,\quad {v_y} = dy/dt,\quad {v_z} = dz/dt,\]

\[{v'_{x'}} = dx'/dt',\quad {v'_{y'}} = dy'/dt',\quad {v'_{z'}} = dz'/dt'.\]

Уравнения (10...12) могут быть записаны в другой форме:

\(\frac{{x - x'}}{{t + t'}} = \frac{{{c^2}}}{V}\left( {1 - \sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} } \right),\quad y = y',\quad z = z',\)(13)
\(t = \frac{{t'\left( {1 + Vdx'/{c^2}dt'} \right)}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t' = \frac{{t\left( {1 - Vdx/{c^2}dt} \right)}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\)(14)

Системы уравнений (10...12) и (13, 14) заменяют собой преобразования Лоренца:

\[x = \frac{{x' + Vt'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad x' = \frac{{x - Vt}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad y = y',\quad z = z',\]

\[t = \frac{{t' + \left( {{V^2}/{c^2}} \right)x'}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }},\quad t' = \frac{{t - \left( {{V^2}/{c^2}} \right)x}}{{\sqrt {1 - {V^2}/{c^2}} }}.\]

Преобразования (10...14) не противоречат релятивистской динамике и электродинамике, а также релятивистским эффектам, в основе которых заложен закон сложения скоростей (6).

Особенность преобразований в том, что они повышают симметрию пространства. Молекулярные структуры и орбитальные образования не деформируются и не меняют свои размеры в инерциальных системах отсчёта. Одновременные события, происходящие в разных точках какой либо инерциальной системы отсчёта, будут одновременными во всех других инерциальных системах.

Реликтовая система отсчёта

Как следует из формул преобразования времени (8), во всём множестве инерциальных систем одни и те же часы отсчитывают различное время. Если наблюдатели неподвижны в разных инерциальных системах отсчёта, то один из них наблюдает отставание часов второго наблюдателя, так же как второй наблюдатель наблюдает ровно такое же опережение хода часов первого наблюдателя. Это означает, что периодический цикл маятника одних и тех же часов, расположенных в разных системах отсчёта, будет реально различным в зависимости от того, в какой из инерциальных систем расположены часы и вне зависимости от того, в какой из систем расположен наблюдатель. Поэтому должна существовать некая, особо выделенная, система отсчёта, в которой период колебания маятника часов минимальный.

Поскольку масса Метагалактики конечная величина, то единственной выделенной системой отсчёта может быть только система, неподвижная по отношению к центру инерции всех элементов Метагалактики, то есть изотропная к реликтовому излучению. Показания часов, неподвижных в такой исходной (реликтовой) системе отсчёта, будут опережать показания таких же часов в других системах отсчёта.

К настоящему времени известно, что Солнце движется в системе отсчёта, изотропной к реликтовому излучению, в направлении созвездия Льва со скоростью VR ≈ 370 км/с. Будем считать, что средняя по году скорость Земли относительно реликтового фона также равна величине VR.

Рассмотрим случай движения, когда оси x и x′ двух систем отсчёта расположены в направлении вектора скорости VR. Пусть Земля неподвижна в системе отсчёта x, тогда система отсчёта x движется относительно реликтового фона со скоростью VR. Скорость системы отсчёта x′ относительно реликтового фона равна некоторой величине V′. Скорость системы x′ относительно системы x равна V. Обозначим показания часов, неподвижных в исходной системе отсчёта как t0, а показания часов, неподвижных в системах отсчёта x и x′ как t и t′.

Выразим показания часов в системах отсчёта через показание часов в исходной системе, учитывая, что время t0 максимально велико отношению к времени t и t′:

\[t = {t_0}\sqrt {1 - \frac{{V_R^2}}{{{c^2}}}} ,\quad t' = {t_0}\sqrt {1 - \frac{{{{V'}^2}}}{{{c^2}}}} ,\]

тогда

\[\left( {{c^2} - {{V'}^2}} \right){t^2} = \left( {{c^2} - V_R^2} \right){t'^2}.\]

Скорости V′ и VR связаны соотношением:

\[V' = \frac{{{V_R} + V}}{{1 + \frac{{{V_R}V}}{{{c^2}}}}}\]

В итоге получим преобразование координат и времени для движущегося объекта в системах отсчёта x и x′:

\[x = x' + \frac{{{c^2}}}{V}\left( {1 - \sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{{c^2}}}} } \right)\left( {t + t'} \right),\;y = y',\;z = z',\](15)
\[t = \frac{{\left( {1 + {V_R}\frac{V}{{{c^2}}}} \right)t'}}{{\sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{{c^2}}}} }},\quad t' = \frac{{\left( {1 - V'\frac{V}{{{c^2}}}} \right)t}}{{\sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{{c^2}}}} }}.\](16)

Из формул (15) и (16) следует:

\[x = x' + \left( {\frac{{{V_R} + V}}{{\sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{{c^2}}}} }} - {V_R}} \right)t',\\ \quad x' = x + \left( {\frac{{V' - V}}{{\sqrt {1 - \frac{{{V^2}}}{{{c^2}}}} }} - V'} \right)t.\](17)

Рассмотрим движение трёх одних и тех же механических часов в исходной системе отсчёта x0, y0, z0. Допустим, одни часы с показанием времени t0, неподвижны в исходной системе отсчёта, другие часы с показанием времени t расположены на Земле, третьи часы с показанием времени t′ движутся в исходной системе отсчёта в произвольном направлении с компонентами скорости \({v'_{{x_0}}},{v'_{{y_0}}},{v'_{{z_0}}}\). Оси x, x′ и x0 всех трёх систем отсчёта, в которых находятся часы, направлены вдоль вектора VR. Повторяя предыдущие рассуждения, выразим показания часов t через показания часов t′:

\[\left( {{c^2} - v'^2_{{x_0}} - v'^2_{{y_0}} - v'^2_{{z_0}}} \right){t^2} = \left( {{c^2} - V_R^2} \right){t'^2}.\]

Компоненты \({v'_{{x_0}}},{v'_{{y_0}}},{v'_{{z_0}}}\) скорости часов в исходной системе отсчёта x0, y0, z0 связаны с компонентами vx, vy, vz скорости этих же часов в системе отсчёта Земли x, y, z уравнениями (12), поэтому:

\[\left[ {{c^2} - {{\left( {\frac{{{v_x} + {V_R}}}{{1 + {v_x}\frac{{{V_R}}}{{{c^2}}}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{{v_y}\sqrt {1 - \frac{{V_R^2}}{{{c^2}}}} }}{{1 + {v_x}\frac{{{V_R}}}{{{c^2}}}}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{{v_z}\sqrt {1 - \frac{{V_R^2}}{{{c^2}}}} }}{{1 + {v_x}\frac{{{V_R}}}{{{c^2}}}}}} \right)}^2}} \right]{t^2} =\\ = \left( {{c^2} - V_R^2} \right){t'^2}.\](18)

Таким образом, относительно Земли существует вполне определённая область инерциальных систем отсчёта, где время течёт быстрее, чем на Земле. В выбранной нами системе координат эта область определяется полем скоростей, ограниченных неравенством:

\[{\left( {\frac{{{v_x} + {V_R}}}{{1 + {v_x}\frac{{{V_R}}}{{{c^2}}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{v_y}\sqrt {1 - \frac{{V_R^2}}{{{c^2}}}} }}{{1 + {v_x}\frac{{{V_R}}}{{{c^2}}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{v_z}\sqrt {1 - \frac{{V_R^2}}{{{c^2}}}} }}{{1 + {v_x}\frac{{{V_R}}}{{{c^2}}}}}} \right)^2} < V_R^2,\]

или

\[v_y^2 + v_z^2 < - 2{v_x}{V_R} - v_x^2\left( {1 + \frac{{V_R^2}}{{{c^2}}}} \right).\]

В случае, когда vy = vz = 0 и vx = v, уравнение (18) преобразуется к виду:

\[t = \frac{{\left( {1 + v\frac{{{V_R}}}{{{c^2}}}} \right)t'}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}.\]

Область скоростей v, при которых t′ > t, в этом случае определяется интервалом:

\[0 > v > - \frac{{2{V_R}}}{{1 + \frac{{V_R^2}}{{{c^2}}}}}.\]

Если v = –VR (t′ = t0), расхождение показаний часов составит величину:

\[\frac{t}{{t'}} = 0,99999924.\]

Соотношение времени t0 в исходной системе x0 и времени t и t′ в других системах отсчёта x и x′ удобно выражать через периоды колебаний маятников одних и тех же часов, неподвижно расположенных в этих системах:

\[\left( {{c^2} - v^2_{{x_0}} - v^2_{{y_0}} - v^2_{{z_0}}} \right){T^2} = \left( {{c^2} - v'^2_{{x_0}} - v'^2_{{y_0}} - v'^2_{{z_0}}} \right){T'^2} = {c^2}T_0^2,\]

Tt = T t′ = T0t0,

где T, T ′ и T0 – периоды колебаний маятников одних и тех же механических часов в системах отсчёта, t, t ′ и t0 – показания времени этих часов, v0 и v0 – скорости часов и соответствующих систем отсчёта в исходной системе отсчёта x0.

Принимая систему отсчёта, неподвижную по отношению к центру инерции Метагалактики, как исходную, мы получаем не противоречивые кинематические преобразования координат и времени, исключающие деформацию пространства и протяжённых объектов при относительном движении.

 

Список литературы

  1. Mandelberg H.I., Witten L. Experimental Verification of the Relativistic Doppler Effect. Journal of the Optical Society of America, 1962. – V. 52, p. 529...535.
  2. Frish D.H., Smith J.H. Measurement of the Relativistic Time Dilation Using μ-Mesons. American Journal of Physics, 1963. – V. 31, p. 342.
  3. Einstein. A. Ьber die vom Relativitдtsprinzip geforderte Trдgheit der Energie. Annalen der Physik, 1907. – V. 23, p. 371...384.
  4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. II. Теория поля. М.: Наука, 1973. – с. 65.
  5. Галибин Н.С. Кинематические преобразования для частиц высоких энергий. Депонировано в ВИНИТИ 05.08.2013, №232-В2013. – 6 с.
  6. Галибин Н.С. Преобразования координат и времени при относительном движении. «Издательство Самарского Научного Центра РАН», 2015. – 8 с.

Дата публикации:

3 апреля 2017 года

Электронная версия:

© НТБУ. Теория относительности, 2007